Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng dãy số để giải một số bài toán liên quan đến chia hết ở tiểu học

Nội dung tài liệu: Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng dãy số để giải một số bài toán liên quan đến chia hết ở tiểu học

1. SKKN Sử dụng dãy số để giải một số bài toán liên quan đến chia hết ở tiểu học. THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1. Tên sáng kiến: Sử dụng dãy số để giải một số bài toán liên quan đến chia hết ở tiểu học. 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Dạy học môn Toán 3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 01 tháng 10 năm 2012 đến ngày 31 tháng 5 năm 2015 4. Tác giả: Họ và tên: Nguyễn Văn Dục Năm sinh: Ngày 18 tháng 11 năm 1974 Nơi thường trú: Xã Nghĩa Trung, huyện Nghĩa Hưng, tỉnh Nam Định Trình độ chuyên môn: Đại học Sư phạm Toán Chức vụ công tác: Hiệu trưởng Nơi làm việc: Trường Tiểu học C Nghĩa Sơn Địa chỉ liên hệ: Trường Tiểu học C Nghĩa Sơn, xã Nghĩa Sơn, huyện Nghĩa Hưng, tỉnh Nam Định Điện thoại: 0350.3870.264 5. Đồng tác giả (nếu có) Họ và tên: Năm sinh: Nơi thường trú: Trình độ chuyên môn:
2. Nơi là việc: Địa chỉ liên hệ: Điện thoại: 6. Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường Tiểu học C Nghĩa Sơn Địa chỉ: Xã Nghĩa Sơn, huyện Nghĩa Hưng, tỉnh Nam Định Điện thoại: 0350.3870.264 A. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong quá trình chỉ đạo, triển khai thực hiện kế hoạch năm học, thực hiện sự chỉ đạo của cấp trên. Nhằm thay đổi hình thức giảng dạy và học tập để nâng cao chất lượng học sinh một cách nhẹ nhàng, hiệu quả. Nhà trường đã tổ chức cho học sinh đăng kí và tham gia cuộc thi Violympic Toán trên Internet do Bộ Giáo dục và Đào tạo phối hợp với Công ty FPT tổ chức hàng năm theo thời gian năm học bắt đầu từ tháng 9 đến tháng 5. Khi theo dõi học sinh làm bài dự thi tôi thấy trong đề bài có rất nhiều bài toán tìm số các số có liên quan đến điều kiện chia hết nhưng nếu sử dụng dấu hiệu chia hết thì chỉ giải được một số bài đơn giản còn lại nhiều bài nếu làm như vậy thì sẽ rất phức tạp và khó. Chính vì vậy tôi đã suy nghĩ, tìm tòi để trả lời cho câu hỏi: Phải có cách nào để giải cho tất cả những bài toán thuộc dạng này với cách giải ngắn nhất, dễ hiểu nhất. Và cách giải đã xuất hiện. Nhưng làm thế nào để truyền đạt lại cho học sinh và đặc biệt là tập huấn cho giáo viên để mọi giáo viên hiểu được cách làm và từ đó hướng dẫn học sinh làm bài. Tôi đã viết sáng kiến: “Sử dụng dãy số để giải một số bài toán liên quan đến chia hết ở tiểu học” để trả lời cho các câu hỏi đó. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ Với sáng kiến này có thể giải quyết được tất cả các bài
3. liên quan đến điều kiện chia hết, chia dư. Để giải quyết các bài toán này ta sử dụng kiến thức cơ bản: Tìm số các số trong dãy số cách đều và tính tổng các số trong dãy số cách đều. II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Ở trường tôi, trước khi có sáng kiến này, mỗi khi học sinh gặp bài toán thuộc dạng này mà không có giáo viên hỗ trợ thì tất cả mọi học sinh đều không làm được và đều trả lời kết quả một cách vu vơ. Nhiều bài ngay cả giáo viên cũng lúng túng và giải theo những cách chỉ phù hợp với bài đó mà không phù hợp với các bài khác và thậm chí không thể nghĩ ra ngay lúc đó. III. CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Ta bắt đầu từ bài toán sau: Bài toán 1. Có bao nhiêu số có 3 chữ số chia hết cho 5. Phân tích: - Theo dấu hiệu chia hết cho 5 thì chữ số hàng đơn vị là 0 hoặc 5. - Vì các số phải tìm là những số có 3 chữ số chia hết hết cho 5 nên chữ số hàng trăm là những chữ số từ 1 đến 9, hàng chục phải là những chữ số từ 0 đến 9. Cụ thể như sau: - Với hàng trăm là 1, thì hàng chục có 10 cách chọn từ 0 đến 9 + Với hàng chục là 0 thì hàng đơn vị có 2 cách chọn là 0 hoặc 5. Ta được 2 số. + Với hàng chục là 1 thì hàng đơn vị có 2 cách chọn là 0 hoặc 5. Ta được 2 số. + Với hàng chục là 9 thì hàng đơn vị có 2 cách chọn là 0 hoặc 5. Ta được 2 số. Như vậy với hàng trăm là 1 ta có 10 x 2 = 20 số (theo bảng sau) Hàng Hàng Hàng đơn Số tạo Ghi chú trăm chục vị thành 1 0 0 100 Ta được 20
4. trăm chục vị thành 5 105 số 1 0 110 5 115 2 0 120 5 125 3 0 130 5 135 4 0 140 5 145 5 0 150 5 155 6 0 160 5 165 7 0 170 5 175 8 0 180 5 185 9 0 190 5 195 - Với hàng trăm là 2, tương tự như trên ta cũng được 20 số. - Với hàng trăm là 9, ta cũng được 20 số. Vậy số các số có 3 chữ số chia hết cho 5 là: 20 x 9 = 180 (số)
5. 5, 6, 7, 8, 9). - Chữ số hàng chục có 10 cách chọn (từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). - Chữ số hàng đơn vị có 2 cách chọn (từ các chữ số 0, 5). Vậy số các số có 3 chữ số chia hết cho 5 là: 9 x 10 x 2 = 180 (số) Đáp số: 180 số Ta xét tiếp bài toán sau: Bài toán 2. Có bao nhiêu số có 2 chữ số chia hết cho 3. Phân tích: - Theo dấu hiệu chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của số đó phải chia hết cho 3. - Xuất phát từ cách suy nghĩ đó thì ta lại suy nghĩ tiếp là có bao nhiêu tổng 2 chữ số chia hết cho 3 và là những tổng nào. Đó là: 0 + 3 ; 0 + 6 ; 0 + 9 ; 1 + 2 ; 1 + 5 ; 1 + 8 ; 2 + 4 ; 2 + 7 ; 3 + 3 ; 3 + 6 ; 3 + 9 ; 4 + 5 ; 4 + 8 ; 5 + 7 ; 6 + 6 ; 6 + 9 ; 7 + 8 ; 9 + 9 (có 18 tổng). Mỗi tổng đó ta lập được 2 số có 2 chữ số chia hết cho 3, riêng các tổng có chữ số 0 thì mỗi tổng đó ta chỉ lập được 1 số có 2 chữ số chia hết cho 3 và các tổng có 2 chữ số giống nhau ta cũng chỉ lập được 1 số có 2 chữ số chia hết cho 3. Ví dụ: Với tổng 1 + 2 ta lập được 2 số là 12 và 21 Với tổng 0 + 3 ta chỉ lập được 1 số là 30 Với tổng 6 + 6 ta chỉ lập được 1 số là 66 Từ phân tích trên, ta có thể giải như sau: Với các chữ số, ta có 18 tổng khác nhau mà kết quả của mỗi tổng đó là số chia hết cho 3 đó là: 0 + 3 1 + 2 2 + 4 3 + 6 4 + 8 6 + 9 0 + 6 1 + 5 2 + 7 3 + 9 5 + 7 7 + 8 0 + 9 1 + 8 3 + 3 4 + 5 6 + 6 9 + 9 Ta thấy có 3 tổng có chữ số 0 và 3 tổng có 2 chữ số bằng nhau mỗi tổng này ta lập được 1 số chia hết cho 3 và có 12 tổng mà mỗi tổng này ta lập được 2 số chia hết cho 3.
6. Đáp số: 30 số Phát triển bài toán: 1. Với bài toán 1: Nếu ta thay dấu hiệu chia hết cho 5 thành dấu hiệu chia hết cho 2 hay thay dữ kiện “số có 3 chữ số” thành “số có 4 chữ số” hay “số có n chữ số” thì cách giải cũng tương tự và cũng đơn giản. 2. Với bài toán 2: - Nếu ta thay điều kiện chia hết cho 3 thành chia hết cho 9 thì cách giải cũng tương tự và không khó hơn. - Nhưng nếu ta thay dữ kiện “số có 2 chữ số” thành dữ kiện “số có 3 chữ số” hay nhiều chữ số thì với cách giải này sẽ gặp rất nhiều khó khăn. - Hoặc ta thay dữ kiện “chia hết cho 3” thành “chia hết cho 4” hay “chia hết cho n” mà không có trong dấu hiệu chia hết thì ta sẽ giải thế nào đây. Với những bài toán về đếm số liên quan đến dấu hiệu chia hết như những bài toán trên ta có một cách làm khác rất đơn giản và ngắn gọn. Đó là sử dụng kiến thức về tìm số các số trong dãy số cách đều với công thức: Số các số = (Số cuối – Số đầu) : Khoảng cách + 1 Ta lại quay về các bài toán trên với cách giải này như sau: Bài toán 1. Có bao nhiêu số có 3 chữ số chia hết cho 5. Phân tích: - Các số có 3 chữ số bắt đầu từ 100 đến 999 - Số bé nhất có 3 chữ số chia hết cho 5 là 100 - Số lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho 5 là 995
7. số đó là: 100, 105, 110, 115, , 990, 995 - Tiếp theo ta sử dụng công thức tìm số các số trong dãy số cách đều để tìm xem trong dãy số trên có bao nhiêu số. Theo công thức tìm số các số trong dãy số cách đều thì dãy số 100, 105, 110, 115, , 990, 995 có số các số là: (995 – 100) : 5 + 1 = 180 (số) Từ phân tích trên, ta có thể giải như sau: Số bé nhất có 3 chữ số chia hết cho 5 là 100. Số lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho 5 là 995. Vậy số các số có 3 chữ số chia hết cho 5 là: (995 – 100) : 5 + 1 = 180 (số) Đáp số: 180 số Bài toán 2. Có bao nhiêu số có 2 chữ số chia hết cho 3. Phân tích: - Các số có 2 chữ số bắt đầu từ 10 đến 99 - Số bé nhất có 2 chữ số chia hết cho 3 là 12 - Số lớn nhất có 2 chữ số chia hết cho 3 là 99 Vậy số các số có 2 chữ số chia hết cho 3 chính là số các số trong dãy số cách đều 3 đơn vị bắt đầu từ 12 đến 99. Dãy số đó là: 12, 15, 18, 21, , 96, 99 - Tiếp theo ta sử dụng công thức tìm số các số trong dãy số cách đều để tìm xem trong dãy số trên có bao nhiêu số. Theo công thức tìm số các số trong dãy số cách đều thì dãy số 12, 15, 18, 21, , 96, 99 có số các số là: (99 – 12) : 3 + 1 = 30 (số) Từ phân tích trên, ta có thể giải như sau: Số bé nhất có 2 chữ số chia hết cho 3 là 12. Số lớn nhất có 2 chữ số chia hết cho 3 là 99. Vậy số các số có 2 chữ số chia hết cho 3 là: (99 – 12) : 3 + 1 = 30 (số) Đáp số: 30 số Bây giờ ta xét tiếp một số bài toán khác: Bài toán 3. Từ 100 đến 2014 có bao nhiêu số chia hết cho 13.
8. bé nhất chia hết cho 13 và số lớn nhất chia hết cho 13 trong các số từ 100 đến 2014. - Ta tìm số bé nhất chia hết cho 13 trong các số từ 100 đến 2014 như sau: Ta thực hiện phép chia 100 : 13 thì được kết quả như sau: 100 : 13 = 7 (dư 9) Ta thấy 13 – 9 = 4 Vậy số bé nhất trong các số từ 100 đến 2014 chia hết cho 13 là 100 + 4 = 104. - Ta tìm số lớn nhất chia hết cho 13 trong các số từ 100 đến 2014 như sau: Ta thực hiện phép chia 2014 : 13 thì được kết quả như sau: 2014 : 13 = 154 (dư 12) Vậy số lớn nhất trong các số từ 100 đến 2014 chia hết cho 13 là 2014 – 12 = 2002. - Vậy số các số chia hết cho 13 từ 100 đến 2014 chính là số các số trong dãy số cách đều 13 đơn vị bắt đầu từ 104 đến 2002. Dãy số đó là: 104, 117, 130, 143, , 2002 - Tiếp theo ta sử dụng công thức tìm số các số trong dãy số cách đều để tìm xem trong dãy số trên có bao nhiêu số. Theo công thức tìm số các số trong dãy số cách đều thì dãy số 104, 117, 130, 143, , 2002 có số các số là: (2002 – 104) : 13 + 1 = 147 (số) Từ phân tích trên, ta có thể giải như sau: Số bé nhất chia hết cho 13 trong các số từ 100 đến 2014 là 104. Số lớn nhất chia hết cho 13 trong các số từ 100 đến 2014 là 2002. Vậy số các số từ 100 đến 2014 chia hết cho 13 là: (2002 – 104) : 13 + 1 = 147 (số) Đáp số: 147 số Bài toán 4. Từ 100 đến 2014 có bao nhiêu số chia hết cho 13 nhưng không chia hết cho 5. Phân tích: - Theo bài toán 3 thì số các số từ 100 đến 2014 mà chia hết cho 13 chính là số các số trong dãy số cách đều 104, 117,
9. chia hết cho 5. Hay nói cách khác ta tìm xem từ 104 đến 2002 có bao nhiêu số vừa chia hết cho 13 vừa chia hết cho 5 và cũng chính là số các số vừa chia hết cho 13 vừa chia hết cho 5 từ 100 đến 2014. Số bé nhất vừa chia hết cho 13 vừa chia hết cho 5 là 13 x 5 = 65. Ta lại làm bài toán mới sau: Từ 100 đến 2014 có bao nhiêu số chia hết cho 65. - Ta làm tương tự như bài toán 3 sẽ có được kết quả: Vì 100 : 65 = 1 (dư 35) Mà 65 – 35 = 30 Vậy số bé nhất trong các số từ 100 đến 2014 chia hết cho 65 là 100 + 30 = 130. Vì 2014 : 65 = 30 (dư 64) Vậy số lớn nhất trong các số từ 100 đến 2014 chia hết cho 65 là 2014 – 64 = 1950. Vậy ta có số các số chia hết cho 65 từ 100 đến 2014 chính là: (1950 – 130) : 65 + 1 = 29 (số) - Vậy từ 100 đến 2014 có số các số chia hết cho 13 mà không chia hết cho 5 là: 147 – 29 = 118 (số) Từ phân tích trên, ta có thể giải như sau: - Số bé nhất chia hết cho 13 trong các số từ 100 đến 2014 là 104. Số lớn nhất chia hết cho 13 trong các số từ 100 đến 2014 là 2002. Vậy số các số từ 100 đến 2014 chia hết cho 13 là: (2002 – 104) : 13 + 1 = 147 (số) Số nhỏ nhất chia hết cho cả 13 và 5 là: 13 x 5 = 65 - Số bé nhất chia hết cho 65 trong các số từ 100 đến 2014 là 130. Số lớn nhất chia hết cho 65 trong các số từ 100 đến 2014 là 1950. Vậy số các số từ 100 đến 2014 chia hết cho 65 là: (1950 – 130) : 65 + 1 = 29 (số) - Vậy từ 100 đến 2014 có số các số chia hết cho 13 mà không chia hết cho 5 là: 147 – 29 = 118 (số)
10. Ta đi tới bài toán tổng quát sau: * Bài toán tổng quát: Từ A đến B có bao nhiêu số chia hết cho n (A, B, n là số tự nhiên) Phân tích: - Ta phải tìm số bé nhất chia hết cho n và số lớn nhất chia hết cho n trong các số từ A đến B. - Tìm số bé nhất chia hết cho n trong các số từ A đến B như sau: Ta thực hiện phép chia A : n thì được kết quả như sau: A : n = x (dư r) Ta lấy n – r = p Vậy số bé nhất trong các số từ A đến B chia hết cho n là A + p = A1 . - Tìm số lớn nhất chia hết cho n trong các số từ A đến B như sau: Ta thực hiện phép chia B : n thì được kết quả như sau: B : n = y (dư k) Vậy số lớn nhất trong các số từ A đến B chia hết cho n là B – k = B1 . - Vậy số các số chia hết cho n từ A đến B chính là số các số trong dãy số cách đều n đơn vị bắt đầu từ A1 đến B 1 . - Tiếp theo ta sử dụng công thức tìm số các số trong dãy số cách đều để tìm xem trong dãy số trên có bao nhiêu số. Theo công thức tìm số các số trong dãy số cách đều thì: Dãy số từ A1 đến B1 mà 2 số liền nhau hơn kém nhau n đơn vị có số các số là: (B1 – A 1 ) : n + 1 Lưu ý: + A1 , B 1 , x, y, r, k, p là số tự nhiên. + Trong bước tìm số bé nhất chia hết cho n ở trên nếu A : n = x (dư r) có số dư r = 0 thì ta không thực hiện phép tính n – r để tìm p mà lúc này số bé nhất chia hết cho n chính là A1 = A. Các bạn cùng tự giải mọt số bài toán sau: Bài 1. Tìm trung bình cộng của tất cả các số nhỏ hơn 2013 mà chia cho 5 dư 4.
11. Bài 3. Có bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số chia hết cho 5. Bài 4. Tính tổng tất cả các số có 2 chữ số chia hết cho 3. Bài 5. Có bao nhiêu số có 4 chữ số mà khi chia cho 5 dư 1. Bài 6. Có bao nhiêu số có 2 chữ số khác nhau không chia hết cho 5. C. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ - Qua đây giáo viên có thể hoàn toàn yên tâm trước các bài toán có nội dung yêu cầu như trong sáng kiến này. Khi đó giáo viên hoàn toàn có thể vận dụng sang các bài toán khác có nội dung tương tự mà trong sáng kiến này chưa đề cập tới. - Với thời gian tìm tòi, nghiên cứu chưa nhiều nên sáng kiến không tránh khỏi những thiếu sót về cách trình bày, về nội dung cũng như tính khoa học. Tôi mong muốn nhận được nhiều ý kiến đóng góp để sáng kiến được hoàn thiện hơn. - Trong khuôn khổ sáng kiến này sự phát triển mở rộng kiến thức còn ít. Mong bạn đọc tiếp tục suy nghĩ, mở rộng, phát triển để phạm vi kiến thức áp dụng được rộng hơn. Xin trân trọng cảm ơn! TÁC GIẢ SÁNG KIẾN (Ký và ghi rõ họ tên) Nguyễn Văn Dục